Pembuktian Rumus Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah salah satu dasar dari matematika yang perlu dipahami karena sangat bermanfaat dalam beberapa penyelesaian soal. Dalam penyelesaian akhir persamaan kuadrat diperoleh akar (akar-akar). Untuk memperoleh akar (akar-akar) persamaan kuadrat, ada tiga cara yang dapat digunakan, yaitu dengan memfaktorkan, dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, dan dengan menggunakan rumus. Dua cara yang terakhir yaitu metode kuadrat sempurna dan rumus mempunyai hubungan yang erat. Rumus akar persamaan kuadrat diperoleh dari metode kuadrat sempurna terhadap bentuk umum persamaan kuadrat.

Dengan menggunakan rumus, akar (akar-akar) persamaan kuadrat
$ax^2+bx+c=0$
adalah sebagai berikut.
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Sekarang kita buktikan rumus tersebut dengan menggunakan metode kuadrat sempurna.
$\\Tujuan\ kita\ adalah\ mencari\ nilai\ x\ dari\ pers.\ kuadrat\ ax^2+bx+c=0\\\\ ax^2+bx+c=0\\\\ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\\\ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\\\ \Leftrightarrow {\color{Blue} (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}}\\\\ \Leftrightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\\\ \Leftrightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\\\ \Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\\ \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\ \Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Beberapa orang mungkin bertanya mengenai langkah yang berwarna biru. Bagaimana hubungannya dari langkah sebelumnya. Coba perhatikan di bawah ini.
$\\(x+p)^2=x^2+2px+p^2\\ \Leftrightarrow x^2+2px=(x+p)^2-p^2\\\\ Sekarang\ kita\ misalkan\ p=\frac12 m,\ persamaan\ di\ atas\ menjadi\\ x^2+2(\frac12 m)x=(x+\frac12 m)^2-(\frac12 m)^2\\\\ \Leftrightarrow x^2+mx=(x+\frac12 m)^2-(\frac12 m)^2$

Coba kita hubungkan dengan langkah yang berwarna biru di atas.
$x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac12(\frac{b}{a}))^2-(\frac12(\frac{b}{a}))^2\\\\ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\\\\ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}$

Ada yang ditanyakan?

Pembuktian Rumus Akar Persamaan Kuadrat

Related Posts

0 komentar:

Post a Comment